Використання  прикладних задач при вивченні математики на різних етапах уроку та рекомендації на основі власного досвіду

          Підвищення ефективності навчання математики сприяє розв’язування задач практичного змісту. Дані задачі пов’язані як з імплементацією наскрізних ліній ключових компетентностей, так і з практичною спрямованістю навчального матеріалу.

          Прикладна задача – задача, що потребує перекладу з прикладної мови на математичну, задача, яка близька за формуванням і методами розв’язування до задач, що виникають на практиці, сюжетна задача, сформульована у вигляді задачі – проблем.

       Розв’язування прикладних задач сприяє ознайомленню учнів з роботою підприємств і галузей народного господарства, що є  умовою орієнтації інтересу учнів до певних професій. Використання прикладних задач дозволяє вдало створювати проблемні ситуації на уроці.

Використання прикладних задач при вивченні математики

 в 5, 6 класах

          У 5 класі протягом І семестру учні вивчають натуральні числа і дії над ними, роблячи ухил на розв’язування рівнянь і, особливо, текстових задач. Саме на останні слід звернути особливу увагу, як на розв’язування задач з реальними даними, наприклад: на використання природних ресурсів рідного краю, безпеки руху. Оскільки в учнів переважає в цей період образна пам'ять, то процес розв’язування задачі слід розпочати з наочного зображення (схеми). Схема має бути якомога більш абстрактною і будуватись, по можливості, від руки, там не має бути елементів, складніших за прямокутник. Потім необхідно перейти до аналізу задачі, але перед цим необхідно пригадати основні співвідношення між величинами ( якщо це задача на рух, то це відстань-час-швидкість, якщо це задача економічного змісту, то це кількість-ціна-вартість). Після цього необхідно визначити, що нам відомо, що потрібно знайти, що для цього необхідно знати і т. д. На цьому етапі я надаю перевагу фронтальним методам роботи, давши можливість висловитись всім бажаючим, що сприяє розвитку як логічного мислення так і навичок математичної мови. Безпосередньо під час розв’язку необхідно звернути увагу на запис. Наприклад:

    1). 120:60=2(год.) – час руху І автомобіля.

          А відповідь слід записувати коротко: за 2 год., на 4 грн., через 45км. тощо. Цих же рекомендацій  слід дотримуватись і в ІІ семестрі під час вивчення дробів. Що стосується змісту завдань, то особисто я, зважаючи на особливості сьогодення, звернула  би більше уваги на задачі економічного змісту, розрахунку сімейного бюджету, здійснення масштабних покупок, що має ще й непоганий мотиваційний ефект. Наприклад:

    «Якщо не вимкнути протягом дня одну електричну лампочку потужністю 100 Вт, то втрати електроенергії за 10 год становитимуть 1 кВт. Скільки грошей витратить ваша сім’я даремно, якщо забути вимкнути одну лампочку потужністю 100 Вт, за місяць? За рік?»

        В курсі математики 5 класу особливе місце посідає досить велика кількість геометричного матеріалу. Саме тут виникає найбільше можливостей щодо реалізації практичного підходу до навчання математики. В це важко повірити, але коли учні без проблем визначають площу прямокутника, питання типу «визнач площу аркуша з зошита» декого з них приводить в ступор. Тому особливу увагу слід приділяти саме практичним задачам, де необхідно не лише обчислити, а й виміряти. Наприклад задачі на знаходження периметрів та площ земельних ділянок, підлоги класної кімнати, об’єму об’єктів, що мають форму прямокутного паралелепіпеда. Можна вирізати з паперу певні фігури, які складаються з прямокутників і запропонувати учням визначити їх периметр, площу. Тут ще й є великий простір для диференціації. «На ура» йдуть задачі типу:

    «Скільки кг насіннєвого матеріалу картоплі необхідно купити, щоб засадити ділянку розміром 12 а, якщо відстань між міжряддями 50 см, а між картоплинами в рядку 20 см? Середня маса картоплини 40 г»,

    «Під час опалювального сезону за добу в середньому сім'я спалює 2 оберемки дров розміром 50см х 30см х 20см. Скільки складометрів дров необхідно заготовити на сезон тривалістю 200 діб?»,

    «Флористи  Харкова встановили світовий рекорд з довжини квіткової клумби. На честь 70-річчя визволення міста і з нагоди Дня Незалежності України набережну річки Лопань прикрасили 80 тисяч жовто-синіх квітів. Їх з'єднали  в неперервну лінію довжиною  біля 2,8 км. Представники   Книги рекордів Гіннеса підтвердили, що це майже на 800 метрів перевищує попередній рекорд, що був зафіксований   у  місті  Тілбург (Нідерланди)  в 2009 році. Знайдіть, на якій відстані одна від одної знаходились квітки в цій клумбі?»

         Можна запропонувати учням задачі, які містять казковий сюжет: «У саду Барвінка росли айстри, гладіолуси та жоржини. Айстри становили 60% усіх квітів, гладіолуси – 40% кількості айстр, а жоржин було 32 квітки. Скільки айстр росло в саду у Барвінка?»,

    «Коваль Вакула мав викувати 420 підков за певний час. Щоб встигнути привітати зі святом  свою кохану Оксану, він виконав завдання на 1 день раніше запланованого строку, бо робив на 10 підков більше, ніж планував спочатку. Скільки підков кував  коваль Вакула щодня?»

    «Пацюк з'їв спочатку 15 вареників, а потім ще дві третини всіх вареників. Скільки всього вареників було у Пацюка?»

         У 6 класі першими темами є «Подільність натуральних чисел», «Звичайні дроби». Учні, зазвичай, гарно сприймають дані теми, саме тому вчителю необхідно звернути увагу на завдання практичного змісту, з розрахунку щоб мінімум одна така задача була присутня на кожному уроці. Прикладом такої задачі може бути: «До Шевченківських свят необхідно заповнити однаковим змістом два різні за розмірами стенди. Яку найменшу кількість листів необхідно роздрукувати, якщо на одному стенді поміщається 4 листи в одному ряді, а на іншому – 6 листів в одному ряді, а ряди мають бути заповнені повністю?». Така задача крім практичного спрямування є ще й сучасною (учні дедалі більше мають справу з роздруківкою певних матеріалів), і сприяє патріотичному вихованню. Слід зазначити, що задачу можна використати на будь-якому етапі уроку. Наприклад, під час постановки проблеми перед вивченням нової теми:

Тема уроку. Найбільший спільний дільник.

Перед вивченням нової теми пропоную учням розв'язати задачу.

«У квітковий магазин завезли троянди трьох сортів: 192 білих, 3З6 червоних i 288 жовтих. Яку найбільшу кількість букетів можна зробити з цих квітів, так щоб кожний букет мав однакову кількість троянд кожного кольору?

 Розв'язання. Треба знайти найбільше число, на яке діляться числа 192, 336 i

288, тобто найбільший спільний дільник цих чисел. Як це зробити ? (проблема )

        Про це ми дізнаємося зараз на цьому уроці i після цього закінчимо розв'язання цієї задачі .

         Великий простір для використання практичних і прикладних задач дає тема: «Відношення і пропорції». Саме тут дуже багато завдань сприяє розвитку міжпредметних зв’язків, особливо з такою наукою як географія. Тому під час вивчення масштабу слід використовувати якомога більше наочності: географічні карти, атласи, глобус, плани будівель тощо. Стосовно довжини кола рекомендується використовувати задачі, в умовах яких фігурують предмети, близько знайомі учням, наприклад велосипедне колесо, кришка колодязя тощо. Під час вивчення діаграм хоч один з уроків рекомендується провести в комп’ютерному кабінеті що також сприятиме міжпредметним зв’язкам. Можна запропонувати учням задачі на розрахунок відсоткового відношення різних величин (наприклад, працездатного населення регіону, калорій тощо); прийняття рішень у сфері фінансових операцій, розрахунок власних та родинних фінансів, комунальних платежів; уміння розпоряджатися власними коштами. Наприклад:

    «Харківська фабрика  «Бісквіт-Шоколад» випускає 60 000 т кондитерських виробів на рік. З них експортує 32% до інших країн. Скільки тонн кондитерських виробів експортує «Бісквіт-Шоколад» за кордон?»,

     «В селі Одарівка зі 120 будинків 35% користується пічним опаленням, інші обігріваються газом. Яка кількість будинків на пічному опаленні?»

    «В селищі Комишуваха для освітлення центральної вулиці встановили ліхтарі. Через місяць 28 з них, що становить 35% від усіх встановлених ліхтарів - перегоріли. Скільки ліхтарів було встановлено?»

    «Фермер взяв в аренду 200 га землі. З них 26 % він засіяв соняшником. Скільки гектарів землі засіяно соняшником?»

    «Із посадженого насіння соняшника зійшло 180 зернят насіння, що становить 90 % від кількості посадженого насіння. Скільки насіння соняшника було посаджено?»

    «Цього літа фермер видав на паї людям 180 т пшениці, що становить 40 % всього урожаю. Скільки тонн пшениці залишилося у фермера?»

    «Щоб замісити пісочне тісто треба брати маргарину 70 % від маси борошна. Скільки треба взяти маргарину, якщо борошна 400 г?»

    «Щоб утворився 9% оцет, кухар взяв 22,5 мл оцтової кислоти. Скільки він отримав 9% оцту?»

   «Під час сушіння виноград втрачає 70  % своєї маси. Скільки кілограмів родзинок отримають із 10 кг винограду?»

  «Для пошиття новорічного костюма шахової королеви використовували чорну та білу тканину. Білої пішло 1,2 м, що становить 48 % від усієї використаної тканини. Скільки всього пішло тканини на костюм?»

  «На ярлику светра написано: Склад – 60 % поліамід, 40 % - ангора. Скільки пішло на светр ниток ангори, якщо маса светра 900 г?»

  «В рулоні 50 м тканини. На пошиття одного смокінгу потрібно 5% тканини. Скільки метрів тканини потрібно для 6 таких смокінгів?»

  «До магазину завезли цукор. За перший день продали 70 кг, що становить 20 % привезеного цукру. Скільки кілограмів цукру завезли в магазин?»

  «Менеджер отримав авансом 840 грн, що становить 12 % його заробітної плати. Яка заробітна плата менеджера?»

  «На весняному розпродажі ціну куртки, що коштувала 350 грн. знизили на 40%. Скільки коштує куртка?»

  «200 чоловік видихають 2 кг вуглекислого газу за годину, його може поглинути 1 га лісу. Скільки гектарів лісу повинно рости біля нашої школи, якщо в ній приблизно 250 учнів, вчителів та технічних працівників разом?»

    У ІІ семестрі учні працюють з раціональними числами, які традиційно вводяться через поняття температури (вище нуля, нижче нуля) та понять «нижче рівня моря», «вище рівня моря». Тому при вивченні координатної площини бажано приділити час міжпредметним зв’язкам з географією.

    Під час розв’язування задач пропоную учням коментувати виконання дій. Це сприяє розвиткові усного мовлення, формуванню у школярів вмінь правильно і грамотно висловлювати свої думки українською мовою. Уже в 5, 6 класах вчимося складати задачі, які містять історичні дані, відомості про тваринний та рослинний світ регіону, в якому проживають школярі.

          У системі навчання важливе місце посідає обчислювальна практика. У 5-6 класах виконується основний обсяг роботи обчислень з раціональними числами. У наступних класах ці навички розвиваються і закріплюються. Важливий момент – уміння виконати наближені обчислення, зробити прикидку. Слід мати на увазі і розвиваючу функцію усних обчислень: вони активізують увагу і пам'ять учнів, спонукають їх до раціональної діяльності. Якщо в учнів середніх класів добре сформовані ці навички, це є запорукою того, що в старших класах розв'язування задач не буде викликати особливих труднощів. Творчі здібності, як і інші здібності людини, вимагають постійного тренування. Завдання вчителя – «збудити» здібності своїх учнів, виховувати в них сміливість думки і впевненість у тому, що вони розв’яжуть
    кожну задачу.                                                                

Використання задач з практичним змістом в 7-9 класах

        Курс алгебри у 7 класі учні розпочинають з вивчення лінійних рівнянь. Даний матеріал добре знайомий учням з 6 класу. Тому в контексті використання задач з практичним змістом слід звернути особливу увагу на зміст задач, що розв’язуються за допомогою рівнянь. Умова повинна бути: зрозумілою, близькою до повсякденності, сучасною, цікавою учню.

         Особливу увагу практичним задачам слід приділити під час вивчення теми «Функція». Недаремно тут функцію розглядають як математичну модель реальних процесів. Зазвичай тут учні вивчають графік руху і графік зміни температури, що вже саме по собі є непоганою демонстрацією міжпредметних зв’язків. Тут доцільно при розгляді рівняння руху доцільно вибрати приклад на місцевому матеріалі. Наприклад:

   «Микола вирішив на вихідні поїхати на велосипеді в сусіднє село до друга, що живе на відстані 12км. Швидкість велосипеда 12км/год. Але на середині шляху велосипед  поламався і решту шляху він ішов пішки зі швидкістю 4км/год. Накреслити графік руху»,

    «Джміль летить зі швидкістю 18 км / год, а бабка - 10 м / c. Хто летить швидше, і у скільки разів?» 

    «За скільки часу пліт, що пливе за течією пройде 100 метрів, якщо швидкість течії 1,8 км / год?»

    «Чисельність зубрів в заповіднику може бути знайдена за формулою: y = 50 +3 t, де y кількість особин, а t час (у роках). Знайдіть, скільки особин буде в даному заповіднику через 3 роки. Через скільки років в цьому заповіднику особин буде 65 штук?» 

    «За нашим класом закріплена клумба, на якій навесні ми посадили три кущі троянд. До кінця навчальної практики на них розквітло 15 троянд. Коли на одному кущі розквітло ще 3 троянди, то на всіх кущах троянд стало порівну. Скільки троянд було спочатку на кожному кущі?»

   «В нашому селі протікає річка Оскіл. В ній живе багато риби. Коли в одного рибалки запитали, яка маса спійманої риби, він сказав : «Я думаю, що маса хвоста 1 кг, маса голови така, як маса хвоста і половини тулуба, а маса тулуба дорівнює масі голови і хвоста разом». Яка маса риби?»

        У 8 класі слід звернути особливу увагу на наступні теми: «Стандартний вигляд числа»; «Обернена пропорційність»; «Квадратична функція»; «Рівняння що зводяться до квадратних». Тут бажано розв’язувати задачі на: використання взаємозв’язків економічних явищ; види та розрахунки податків, платежів; рух; продуктивність праці; вартість товару; сумісну роботу; суміші та сплави тощо. Умови повинні бути зрозумілими учню та побудовані на сучасному матеріалі.

    «Через першу трубу басейн заповнюється за 10 годин, через другу – за 15 годин. За скільки годин буде заповнений басейн, якщо відкрити разом обидва отвори?»

    «Дві бригади, працюючи разом, зорали поле за 8 год. За скільки годин може зорати поле кожна бригада, працюючи самостійно, якщо другій бригаді на це потрібно на 12 год більше, ніж першій?»

    «Через одну трубу можна наповнити басейн на 9 годин швидше, ніж через другу опорожнити цей басейн. Якщо одночасно відкрити обидві труби, то басейн наповниться за 40 год. За скільки годин перша труба може наповнити, а друга – опорожнити басейн?»

    «Першому трактору, щоб зорати поле, необхідно на 2 години менше, ніж третьому і на 1 годину більше, ніж другому. При сумісній роботі першого та третього тракторів поле може бути зоране за 1год 12 хв. Скільки часу треба, щоб зорати поле, якщо працюватимуть разом всі три трактори?»

    «Дві бригади працювали разом 15 днів, а потім до них приєдналася третя бригада і через 5 днів після цього роботу було виконано. Відомо, що друга бригада напрацьовує за день на 20% більше першої. Друга і третя разом можуть виконати всю роботу за 9/10 того часу, який необхідний для виконання всієї роботи першою та третьою бригадами при їх сумісній роботі. За який час можуть виконати всю роботу три бригади разом?»

«Два насоси різної потужності, працюючи разом, заповнюють басейн за 4 години. Для заповнення половини басейну першому насосу потрібно часу на 4 години більше, ніж другому для заповнення ¾ басейну. За який час може заповнити басейн кожен насос окремо?»

«Двоє робітників виконали разом деяку роботу за 12 годин. Якщо б спочатку перший зробив половину цієї роботи, а потім другий закінчив те, що залишилося, то всю роботу було б виконано за 25 годин. За який час міг би кожен робітник виконати всю роботу окремо?»

«Двоє слюсарів мають виготовити певну кількість деталей. Після тригодинної сумісної роботи продовжив працювати тільки другий слюсар, який пропрацював ще 4 години. Після цього завдання виявилося перевиконаним на 12,5%. За який час міг би виконати все завдання кожний слюсар, якщо відомо, що другому на це потрібно на 4 години менше, ніж першому?»

«Резервуар може наповнюватись водою з двох кранів. Якщо перший кран відкрити на 10 хвилин, а другий – на 20 хвилин, то резервуар буде наповнено. Якщо перший кран відкрити на 5 хвилин, а другий – на 15 хвилин, то заповниться 3/5 резервуара. За який час кожен кран окремо може наповнити резервуар водою?»

«Для розвантаження баржи виділено бригади вантажників. Якщо до часу, за який перша бригада може розвантажити баржу, додати час, необхідній другій бригаді для розвантаження баржи, то вийде 12 годин. За який час кожна бригада окремо розвантажить баржу, якщо різниця цих годин складає 45% всього часу, за який обидві бригади можуть розвантажити баржу, працюючи разом?»

«Теплохід завантажується підйомними кранами. Спочатку протягом 2 годин працювали 4 крани однакової потужності, потім до них приєдналися ще 2 крани, але меншої потужності, і через 3години після цього теплохід було завантажено. Якщо б всі крани почали працювати одночасно, то роботу було б закінчено за 4,5 години. За який час завантажать теплохід один кран більшої потужності та один кран меншої потужності, працюючи разом?»

«Котлован рівномірно наповнюється водою. 10 однакових насосів, працюючи одночасно, можуть відкачати воду із заповненого котлована за 12 годин, а 15 таких насосів – за 6 годин. За який час можуть відкачати воду із заповненого котлована 25 таких насосів при сумісній роботі?»

« Вода до резервуару подається по п’яти трубах. Через першу трубу резервуар заповнюється за 40 хв, через другу, третю і четверту, що працюють разом, - за 10 хв, через другу, третю і п’яту разом – за 20 хв і, нарешті, через п’яту і четверту – за 30 хв. За який час наповниться резервуар при одночасній роботі всіх п’яти труб?»

«Танкер заповнюється нафтою при роботі двох труб, при цьому, кожна з них заповнила більше 0,25 його об’єму. Якщо кількість нафти, що поступає за годину з першої труби буде в 1,5 рази більше, а кількість нафти, що поступає за годину з другої труби, буде у 4 рази менше, то час, неохідний для заповнення танкера, збільшиться на 1/6 того часу, за який перша труба заповнює танкер самостійно. Через яку трубу накачали більше нафти і у скільки разів?»

«Кожному з трьох робітників для виконання деякої роботи необхідний певний час. Третій робітник виконує всю роботу на одну годину швидче першого. Працюючи всі разом, вони виконують роботу за одну годину. Якщо ж перший пропрацює 1 годину, а потім другий пропрацює 4 години, то вони разом виконають всю роботу. За який час може виконати роботу кожний робітник?»

«Бак наповнюється водою за допомогою декількох насосів. Спочатку підключили три насоси однакової потужності, а через 2,5 години після початку їх роботи підключили ще два насоси іншої, але теж однакової потужності. В результаті через одну годину після підключення останнії насосів води в баку до повного об’єму не вистачало 15 м³, а ще через годину бак був наповнений. Один з двох підключених пізніше насосів міг би наповнити бак за 40 годин. Знайдіть об’єм бака».

           У 9 класі вивчається тема «Елементи прикладної математики», де можна широко розвивати практичні навички учнів, запропонувавши їм провести соціологічне дослідження. Крім того, не слід забувати про інші теми, такі як «Нерівності» і «Системи рівнянь другого степеня». Особливу увагу слід приділити числовим послідовностям. Тут можна розв’язати задачу на рух з прискоренням (арифметична прогресія), або на збільшення кількості населення Землі чи складні відсотки (геометрична прогресія). Також можна запропонувати задачу на період піврозпаду, що актуально для дітей, що проживають в зоні радіоактивного забруднення.

          Геометрію у 7 класі учні починають вивчати з введення основних понять та аксіом. При цьому не слід забувати, що геометрія наука наочна і тому бажано кожен урок крім пояснень супроводжувати ще й демонстраціями. За новою програмою курс геометрії будується на досвідно-дедуктивній основі. Основні геометричні поняття запозичуються з досвіду, а теореми доводяться дедуктивно з використанням неповної системи аксіом. Тому у 7 класі необхідно перш за все спиратись на досвід учнів і по можливості підбирати відповідні задачі.

         В курсі геометрії  8 класу відкривається чи не найширше поле для застосування прикладних задач. Це можуть бути задачі на визначення площ земельних ділянок різноманітної форми під час вивчення площ. Досить цікавими можуть бути задачі на подібні трикутники, причому не лише на визначення висоти. Тому під час вивчення даних тем доцільно провести практичні заняття як з визначення площ, так і з визначення лінійних розмірів, обов’язково включивши в процес розв’язування вимірювання необхідних величин. Під час вивчення теореми Піфагора слід зупинитись на визначенні прямого кута методом Єгипетського трикутника.

          У 9 класі прикладні задачі розв’язуються перш за все в темі «Розв’язування трикутників». Це є задачі на визначення недосяжних відстаней. Урок, проведений на вулиці з даної теми був би логічним продовженням аналогічного уроку у 8 класі з теми «Подібні трикутники». Далі, під час вивчення довжини кола і площі круга можна розв’язати задачі на рух а також на визначення площ деталей, що мають форму кругового сектора. Наприклад:

         Отже, 7-9 класах в процесі вивчення геометричних перетворень знайомлю дітей з культурою українського народу за допомогою різних українських орнаментів (вишиванок).

         В 2017-2018 н.р. учні 9 класу вивчають курс за вибором по темі «Десять уроків гармонії». Основна мета курсу-показати, що математика не тільки чітка система законів, теорем і задач, але і досконалий засіб пізнання навколишнього світу, його гармонії й краси. Важливу роль цьому відводиться прикладним, історичним, визначним задачам. Наприклад:

   «(Старовинна задача) Одного чоловіка запитали, скільки в нього грошей. Він відповів : «Мій брат втричі багатший за мене, батько втричі багатший від брата, дід втричі багатший за батька, а у нас рівно 1000 гривень. От і дізнайтеся, скільки у мене грошей».

    «Дванадцять людей несуть 12 хлібин: кожний чоловік несе по 2 хлібини, кожна жінка – по півхлібини, дитина – по чверті хлібини. Скільки було  чоловіків, жінок і дітей ?»

    «Запорозька Січ знаходилась на неприступному острові. Там козаки будували свої курені. Курінь Степана Запороженка, якщо рахувати зліва на право, був 26, якщо рахувати справа наліво – також 26. Скільки куренів знаходилося на острові ?» 

    Легенда «Про подвоєння куба»: якось на острові Делос почалася епідемія чуми. Мешканці острова звернулись до дельфійського оракула, і той повідомив, що необхідно подвоїти жертовне святилище, яке мало форму куба. Мешканці Делоса спорудили ще один такий же куб і поставили його на перший, але епідемія не припинилася. Після повторного звернення оракул роз'яснив, що подвоєний жертовник також повинен мати форму куба.

З того часу дельфійською задачею займались найкращі математики античного світу, було запропоновано декілька розв'язків, але ніхто не зміг виконати таку побудову, використовуючи тільки циркуль і лінійку.

          У сучасних позначеннях, задача зводиться до розв'язку рівняння   . Розв'язок має вигляд .Все зводиться до проблеми побудови відрізка довжиною  . Ванцель довів у 1837 році, що ця задача не може бути розв'язана за допомогою циркуля та лінійки.                                                                Використання задач з практичним змістом в 10, 11 класах

          В процесі вивчення курсу алгебри і початків аналізу з точки зору використання задач з практичним змістом  особливу увагу слід звернути на теми «Похідна та її застосування» та « Інтеграл і його застосування».

         Саме під час вивчення похідної ми знайомимо учнів з її геометричним та фізичним змістом. Це значно сприяє розвиткові міжпредметних зв’язків та дає поле до розв’язування задач на рух із застосуванням похідної. Але в основному прикладні задачі стосуються визначенню екстремумів функції. Тут можна дати учням практичне завдання. Наприклад, роздавши по листку паперу, запропонувати виготовити коробку найбільш можливого об’єму. Використання подібних задач, як правило, дуже зацікавлює учнів і сприяє мотивації.

        Значно ширше поле для діяльності дає вивчення інтегралу. Тут також присутні задачі фізичного змісту на рух. Але основна частина присвячена визначенню площ та об’ємів. Бажано, по можливості, використовувати декілька способів до розв’язування задач: формула Ньютона-Лейбніца і геометричні формули площ. Особливо прикладна спрямованість гарно проявляється при визначенні об’ємів тіл обертання. Можна підібрати функцію, графік якої внаслідок обертання навколо осі ОХ описуватиме тіло, подібне до тарілки, фужера тощо. Можна визначити об’єм бочки. Відомо, що бочки, зазвичай, бувають двох видів: сферична та параболічна. Але кращі учні можуть обчислити об’єм бочки, поверхня якої утворюється обертанням синусоїди. Це ще й вносить в процес навчання елемент наукового дослідження.

        В процесі вивчення комбінаторики та теорії ймовірностей більшість вправ можна розв’язати усно. Тому тут краще застосовувати фронтальні методи роботи. З тем «Елементи прикладної математики» можна широко розвивати практичні навички учнів, запропонувавши їм провести соціологічне дослідження як це робилось і в 9 класі. Але бажано ускладнити завдання і провести комп’ютерну обробку результатів.

        Дуже добре, що одним із засобів забезпечення прикладної спрямованості шкільного курсу стереометрії є прикладні задачі.

          10 клас під час вивчення тем: «Паралельність прямих і площин», «Перпендикулярність прямих і площин». Пропоную задачі такого типу:

        В 11 класі учні з задоволенням розв’язують задачі прикладного змісту, особливо під час вивчення площ поверхонь і об’ємів тіл обертання. Бажано  добирати завдання, які зустрічались на ЗНО попередніх років, сучасні задачі, наприклад, визначити кількість утеплювача для стін і даху будинку певної форми, розрахувати ціну утеплення і можливу економію палива, щоб  визначити за який період часу окупиться дане утеплення.

    Наприклад:

    «Знайти об'єм пальної суміші в циліндрі автомобіля КамАЗ, знаючи, що внутрішній діаметр циліндра 120 мм, а робо­чий хід поршня 120 мм.»

«Ролик радіально-опорного під­шипника має форму зрізаного конуса з діамет­рами основ 5 мм і 6 мм та висотою 7 мм. Знай­ти об'єм матеріалу, з якого виготовлено ролик.»

«Редукційний клапан двигуна трак­тора МТЗ-80 має форму кулі діаметром 8 мм. Знайти об'єм клапана.»

«На будівництво необхідно завезти труби для монтажу мережі водопостачання. У зв'язку із цим треба виконати наступні розра­хунки (розв'язати п'ять задач).

     1) З найти об'єм труби діаметром 60 мм і довжиною 3 м, якщо товщина металу, з якого виготовлена труба, становить 5 мм.

     2) Скільки таких труб можна навантажити на автомобілі ЗИЛ-ІЗО і КамАЗ-5320, якщо

     вантажопідйомність ЗИЛ-ІЗО — 6000 кг, а КамАЗ-5320 — 8000 кг (густина металу р = 7.8 г/см³ = 7800 г/см³).

     3) Кузов автомобіля ЗИЛ-ІЗО має внутрішні розміри 3752 мм х 2326 мм х 575 мм, а розмі­ри кузова КамАЗ-5320 становлять 5200 мм х 2320 мм х 500 мм. Який автомобіль і у скільки разів продуктивніше працюватиме під час перевезення вантажу, якщо час наванта­ження, транспортування та розвантаження буде однаковим?

    4 ) Обчислити витрати палива та його вартість під час перевезення 250 труб вантаж­ними автомобілями ЗИЛ-ІЗО і КамАЗ-5320 на відстань 30 км (ціна 1 л бензину А-80 — З,12 грн, дизельного пачьного — 3,48 грн).

    5) Зварник виконав завдання з монтажу си­стеми водопостачання та виконав 20 стикових швів труб діаметром 60 мм. Який заробіток от­римав робітник, якщо плата за виконання 1 м стикового шва становить 42,1 грн?»

 «Ролик підшипника кочен­ня має форму циліндра, висота якого 20 мм, діаметр основи 10 мм. Знайти об'єм матеріа­лу, з якого виготовлено ролик.»

«Купа щебеню має коніч­ну форму, радіус основи якої 2 м, а висота 1,5 м. Знайти об'єм купи щебеню.»

«Редукційний клапан дви­гуна трактора МТЗ-80 має форму кулі діамет­ром 8 мм. Знайти об'єм клапана.»

«Відро має форму цилінд­ра, діаметр якого 26 см, а висота 35 см. Скільки бензину поміститься у відрі, якщо його напов­нити доверху?»

«Скільки тонн бензину можна зберігати в цистерні циліндричної фор­ми, якщо її діаметр 4 м, а довжина 3 м? (Гус­тина бензину 700 кг/м³.)»

«Купа піску має форму ко­нуса, довжина кола основи якого дорівнює 25,12 м, а твірна — 5 м. Скільки автомобілів вантажопідйомністю 3 т потрібно для її пере­везення, якщо маса 1 м³ становить 2 т?»

«Маса кульки дворядного сферичного підшипника дорівнює 3 г. Який її діаметр (р = 7,8 г/см³)?»

«Яким повинен бути раді­ус основи циліндричного бачка висотою 6 м, щоб у нього помістити 50 т бензину (густина бензину 0,7 т/м³)»

 

«Дві чавунні кулі діаметрами 8 см і 12 см переплавили в одну кулю.    Знайдіть радіус цієї кулі.»

«Щоб ви вибрали б: з`їсти кавун, радіус якого дорівнює 10 см, у трьох. Чи з’їсти кавун радіус якого 20 см у вісьмох? (Вважаємо, що кавун має форму кулі)?»

           У 10-11 класах продовжую працювати над матеріалом, пов’язаним з іменами та біографіями видатних українських математиків. Історичними фактами розширюю кругозір учнів, підвищує їхню загальну культуру, даю можливість краще зрозуміти роль математики в сучасному суспільстві, поглиблюю розуміння матеріалу, що вивчається. Знайдену інформацію подаю у вигляді математичних змагань, конкурсів, учні створюють навчальні проекти.  Діти на таких уроках особливо активні, бо вони їх співавтори, творці. Постійно добираю цікаві запитання і приклади, що поступово і непомітно залучає кожного учня до процесу пізнання.

      Наведу приклади тем проектів, які можна запропонувати учням.

·                   «Геометричні об’єкти в архітектурі»

·                   «Виникнення числа П»

·                   «Цікаві факти з життя та діяльності  видатного вченого, педагога Михайла Васильовича Остроградського»

·                   «Дослідження рівня захворюваності під час епідемії грипу»